Como dijo ネト, se dice じゅうさんにちかん. De hecho, en la lección se ve, pues di la lista hasta el día 31, el contador se agrega como sufijo, es independiente, así que no tendría sentido decir じゅうみっかかん, ya que el día 13 es un simple じゅうさんにち. No obstante, el japonés es un desastre cuando se trata de números, y Google da hits para じゅうみっかかん y similares, eso nos dice que hay japoneses que usan otras versiones. Yo optaría por tratar plenamente al contador como el sufijo que es y decir じゅうさんにちかん.
Con respecto a las eras, nunca se me había ocurrido tal cosa así que investigué un poco, y pues alguien ya se había preguntado lo mismo que tú. La respuesta es que la era 0 sería en teoría el último año de la era anterior, es decir 平成0年 sería 1988, pero eso no lo vas a usar, empiezas desde el 1. Lee estos dos links al respecto, se habla de las eras japonesas y la era cristiana que usa el resto del mundo 西暦「せいれき」.
http://ameblo.jp/hr-act/entry-10860748885.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/153688.html